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Estadística Aplicada a las Ciencias y la Ingeniería

Apéndice B Formulario

B.1 Estadística descriptiva univariante

B.1.1 Notación

  • \(X, Y, ...\): Variables.

  • \(x_i\):

    • En datos individuales: Cada uno de los valores observados de la variable \(X\)
    • En datos agrupados: Cada uno de los \(k\) posibles valores de la variable \(X\).

  • \(n\): Número total de observaciones en la muestra.

  • \(N\): Número total de observaciones en la población.

  • \(n_i\): Número de observaciones en la clase \(i\).

  • \(c_i\): Marca de clase en datos agrupados por intervalos.

  • \(L_i, i = 0, ..., k\): Límites de los intervalos \((L_{i-1}, L_i]\).

B.1.2 Tablas de frecuencias

  • \(n_i\): Frecuencia absoluta, número de observaciones en la clase \(i\).

  • \(f_i\): Frecuencia relativa. \(f_i = \frac{n_i}{n}\)

  • \(N_i\): Frecuencia absoluta acumulada. \(N_i = \sum\limits_{j=1}^{i}n_j\)

  • \(N_i\): Frecuencia relativa acumulada. \(F_i = \sum\limits_{j=1}^{i}f_j = \frac{N_i}{n}\)

  • Número de intervalos en variables continuas:

    • Si \(n \leq 100, k\approx\sqrt n\)
    • Si \(n > 100, k\approx 1 + \log_2 n\)

  • \(A\): amplitud de la variable. \(A = x_{max} - x_{min}\)

  • \(a_i\): Amplitud de la clase \(i\). \(a_i = A/k\)

  • \(c_i\): Marca de clase. \(c_i = \frac{L_{i-1} + L_{i}}{2}\)

B.1.3 Medidas de tendencia central

  • Media aritmética: \(\bar{x}= \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}\).

    • Propiedad: \(Y = a+ bX \implies \bar y = a + b \bar x\)
    • En variables discretas agrupadas: \(\bar{x}= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k n_i x_i= \sum\limits_{i=1}^k f_i x_i,\)
    • En variables agrupadas en intervalos: \(\bar{x}= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k n_i c_i= \sum\limits_{i=1}^k f_i c_i\)

  • Mediana: \(\min\limits_{i=1,...n}{x_i}: F_i\geq 0{,}5\)

  • Media geométrica: \(m_g = \left ( \Pi_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}\)

  • Media armónica: \(H = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{ 1}{ x_i}}\)

B.1.4 Medidas de posición

  • Percentil de orden \(p\): \(P_{p\%} = \min\limits_{i=1,...n}{x_i}: F_i\geq p/ 100\)

  • Cuartiles: \(Q_1 = P_{25}\); \(Q_3 = P_{75}\)

B.1.5 Medidas de dispersión

  • Rango o recorrido: \(R = \max\limits_i{x_i} - \min\limits_i{x_i}\)

  • Desviación media absoluta: \(\mathit{DMA} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n |x_i-\bar x|.\)

  • Desviación absoluta mediana: \(\mathit{DAM} = Me |x_i- Me_x|,\; i = 1, \ldots, n.\)

  • Varianza muestral o cuasivarianza: \(s^2= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i- \bar{x})^2}{n-1} = \frac{1}{n-1}\left (\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - n \bar x^2\right )\)

  • Varianza poblacional: \(\sigma^2= \frac{\sum\limits_{i=1}^N (X_i- \mu)^2}{N} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^n X_i^2 - \mu^2\)

  • Desviación típica muestral o cuasidesviación típica: \(s= \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i- \bar{x})^2}{n-1}}\).

  • Propiedad de la varianza: \(Y=a+bX \implies s_y^2=b^2s^2_X\)

  • Tipificación: \(Z = \frac{X-\bar x}{s} \implies \bar z = 0; s^2 = 1\)

  • Coeficiente de variación: \(\mathit{CV} = \frac{s}{|\bar x|}\)

  • Rango intercuartílico: \(IQR = Q_3 - Q_1\)

B.1.6 Medidas de forma

  • Coeficiente de asimetría: \(\gamma_1 = \frac{m_3}{s^3}\)
    • \(m_3 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x-\bar x ) ^3\)
  • Coeficiente de curtosis (apuntamiento): \(\gamma_2 = \frac{m_4}{s^4}-3\)
    • \(m_4 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x-\bar x ) ^4\)

B.2 Estadística descriptiva bivariante

B.2.1 Notación

  • \(X, Y, ...\): Variables.

  • \(x_i\), \(y_j\): Cada uno de los \(k\) posibles valores de la variable \(X\).

  • \((x_i, y_i)\): Cada uno de los \(n\) pares de valores observados.

  • \(n\): Número total de observaciones en la muestra.

  • \(n_i\): Número de clases de la variable \(X\).

  • \(n_j\): Número de clases de la variable \(Y\).

  • \(n_{ij}\): Número de observaciones en la clase \(i\) de la variable \(X\) y en la clase \(j\) de la variable \(Y\).

B.2.2 Tablas de frecuencias

  • \(n_{ij}\): Frecuencia absoluta conjunta, número de observaciones en la clase \(i\) de la variable \(X\) y en la clase \(j\) de la variable \(Y\).

  • \(f_{ij}\): Frecuencia relativa conjunta. \(f_{ij} = \frac{n_{ij}}{n}\)

  • Frecuencias marginales de \(X\):

    • Absolutas: \(n_{i\cdot} = \sum\limits_{j = 1}^{n_j}n_{ij}\)
    • Relativas: \(f_{i\cdot} = \sum\limits_{j = 1}^{n_j}f_{ij}\)

  • Frecuencias marginales de \(Y\):

    • \(n_{\cdot j} = \sum\limits_{i = 1}^{n_i}n_{ij}\)
    • \(f_{\cdot j} = \sum\limits_{i = 1}^{n_i}f_{ij}\)

  • Frecuencias condicionadas:

    • \(f_{x_i|y=y_j}=\frac{n_{ij}}{n_{·j}}.\)
    • \(f_{y_j|x=x_y}=\frac{n_{ij}}{n_{i·}}.\)

  • Independencia: Si \(f_{ij} = f_{i.}\cdot f_{.j} \;\forall i, j\), entonces las variables \(X\) e \(Y\) son independientes.

B.2.3 Covarianza y correlación

  • Covarianza poblacional:

    • Definición: \(\sigma_{xy} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)\)
    • Cálculo abreviado: \(\sigma_{xy} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N(X_i \cdot Y_i) - \bar X \cdot \bar Y\)

  • Covarianza muestral:

    • Definición: \(s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\)
    • Cálculo abreviado: \(s_{xy} = \frac{1}{n-1} \left ( \sum\limits_{i=1}^n(x_i \cdot y_i) - n \cdot \bar x \cdot \bar y \right )\)

  • Coeficiente de correlación lineal: \(r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}\)

  • Matriz de covarianzas (caso bivariante):

\[\mathbf{S} = \left [\begin{array}{cc} s^2_x & s_{xy}\\ s_{xy} & s_y^2 \end{array}\right ]\]

B.2.4 Regresión lineal simple

  • Recta de regresión: \(y=a+bx\)

    • \(b = \frac{s_{xy}}{s_x^2}\)
    • \(a = \bar y - b \bar x\)
    • \(b = \frac{s_y}{s_x}r_{xy}\)

  • Predicción de nuevos valores: \(\hat{y}_{n+1} = a + bx_{n+1}\)

  • Residuos: \(\varepsilon_i=y_i - \hat{y}_i = y_i - (a+bx_i)\)

  • Varianza residual: \(s_\varepsilon^2= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \varepsilon_i^2\)

    • \(\frac{s_\varepsilon^2}{s_y^2}=(1-r_{xy}^2)\)

  • Coeficiente de determinación: \(R^2 = 1- \frac{s_\varepsilon^2}{s_y^2} = r^2_{xy}\)

B.3 Probabilidad

B.3.1 Notación

  • \(A, B, \ldots\): Sucesos
  • \(\omega\): Suceso elemental
  • \(\Omega\): Espacio muestral
  • \(\emptyset\): Suceso imposible
  • \(A^c\): Suceso complementario del suceso \(A\)

B.3.2 Definiciones

  • Unión de sucesos: \(A \cup B\): Ocurre \(A\) o Ocurre \(B\), o los dos
  • Intersección de sucesos: \(A \cap B\): Ocurre \(A\) y Ocurre \(B\)
  • Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes, o incompatibles: \(A \cap B = \emptyset\)
  • Partición del espacio muestral: Colección de sucesos \(A_1, A_2, \ldots \in \Omega\) que cumplen:
    • \(A_1, A_2, \ldots: \quad A_i \subset \Omega \; \forall i\)
    • \(A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j\),
    • \(\displaystyle \underset{i}\bigcup A_i = \Omega\).
  • Sigma álgebra de sucesos \(\aleph\) (aleph). conjunto de sucesos que:
    • Pertenecen a \(\aleph\),
    • Si \(A \in \aleph \implies A^c \in \aleph\)
    • Si \(\{A_i\}\in \aleph\;\; \forall i\), entonces \(\displaystyle \underset{i}\bigcup A_i \in \aleph\) y \(\displaystyle \underset{i}\bigcap A_i \in \aleph\)

B.3.3 Propiedades

  • Conmutativa:
    • \(A\cup B= B\cup A\).
    • \(A\cap B= B\cap A\).
  • Asociativa:
    • \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\).
    • \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\).
  • Distributiva:
    • \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
    • \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\).
  • Leyes de De Morgan:
    • \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\).
    • \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\).
  • \(A \cup A = A \cap A = A \cup \emptyset = A \cap \Omega = A\).
  • \(A \cup \Omega = \Omega\).

B.4 Definiciones de probabilidad

  • Definición de Laplace: \(P(A) = \frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos posibles}}\)

  • Definición frecuentista: \(P(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}\)

  • Definición axiomática:

    • Primer axioma: \(\forall A \in \aleph \; \exists \; P(A) \geq 0\).
    • Segundo axioma: \(P(\Omega) = 1\).
    • Tercer axioma: Dada la sucesión \(A_1, \ldots, A_i, \ldots: A_i \in \aleph \; \forall\, i, A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j\), se cumple:

\[P \left (\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \right ) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i).\]

B.4.1 Teoremas derivados

  • Dados \(n\) sucesos disjuntos dos a dos \(A_1, \ldots, A_n: A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j\):

\[P \left (\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i \right ) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i).\] * \(P(A^c)=1-P(A)\).

  • \(P(\emptyset) = 0\).

  • Dados \(A_1, A_2: A_1 \subset A_2 \implies P(A_1) \leq P(A_2)\).

  • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

  • \(P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i) - \sum\limits_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum\limits_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) -\)
    \(- \ldots + (-1)^{n-1} P \left(\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\right ).\)

\[ \boxed{0 \leq P(A) \leq 1}.\]

B.4.2 Probabilidad condicionada e independencia

  • Probabilidad de \(A\) condicionada a \(B\): \({P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

  • Probabilidad de la interesección: \(\boxed{P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(B|A)\cdot P(A)}\)

  • Regla de la cadena: \[P\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n} A_i \right) = P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1 \cap A_2)\cdot\ldots\cdot P\left(A_n | \bigcap\limits_{i=1}^{n-1} S_i \right)\]

  • \(A\) y \(B\) independientes \(\iff P(A|B) = P(A)\) y \(P(B|A) = P(B)\)

    • \(\boxed{P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}\) (solo si son independientes)
    • \(P(A^c|B) = 1- P(A|B)\)

B.4.3 Probabilidad total y fórmula de Bayes

  • Probabilidad total:

\[\boxed{P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(B/A_i)\cdot P(A_i)}\]

  • Fórmula de Bayes:

\[\boxed{P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(B/A_i)\cdot P(A_i)}}\]

B.5 Variable aleatoria

  • Función de distribución: \(F(x) = P[X \leq x]\)

  • Probabilidad en un intervalo: \(P[a < X \leq b] = F(b)- F(a)\)

  • Probabilidad del intervalo complementario: \(P[X>a] = 1-F(a)\)

  • Función de masa de probabilidad (VA discreta):

    • \(p(x_i) = P[X=x_i]=P[x_{i-1}<X \leq x_i] = F(x_i)-F(x_{i-1})\)

    • Condiciones:

      • \(p(x_i) \geq 0 \; \forall i\).
      • \(\sum\limits_{i=1}^\infty p(x_i) = 1\).

    • Función de distribución: \(F(x_i) = \sum\limits_{j=1}^i p(x_j)\)

  • Función de densidad (VA continua):

    • \(f(x)= \frac{d F(x)}{dx}\)

    • \(F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt =P[X\leq x]\)

    • Condiciones:

      • \(f(x)\geq 0\)
      • \(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = 1\)

    • Probabilidad en un intervalo: \(P[a<X\leq b]=\int_a^b f(x)dx\)

    • Consecuencia: \(P[X=x]=0\)

  • Características:

    • Media: \(\mu = E[X]\)

      • VA discreta: \(\mu = E[X] = \sum\limits_{i} x_i p(x_i)\)
      • VA continua: \(\mu = E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx\)
      • Propiedad: \(E[a + bX] = a + bE[X]\)

    • Varianza: \(V[X] = \sigma^2 = E[(X-\mu)^2] = E[X^2]-(E[X])^2\)

      • VA discreta: \(\alpha_2=E[X^2]= \sum\limits_{i} x_i^2 p(x_i)\)
      • VA continua: \(\alpha_2=E[X^2]= \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx\)
      • Propiedad: \(V[a + bX] = b^2 V[X]\)

    • Desviación típica: \(\sigma = +\sqrt{\sigma^2}\)

    • Coeficiente de variación: \(\mathit{CV}= \frac{\sigma}{\mu}\)

  • Tipificación de variables aleatorias:

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\implies \mu_Z=0;\; \sigma_Z=1\] * Probabilidad condicionada en variables aleatorias:

\[P[X\in A | X \in B] = \frac{P[(X\in A) \cap (X \in B)]}{P[X \in B]}\]

  • Modelos de distribución de probabilidad

B.6 Inferencia

B.7 Calidad