Apéndice D Repaso
Este apéndice cubre algunas cuestiones matemáticas básicas que el lector de este libro con seguridad habrá aprendido con anterioridad. Se incluyen como referencia para facilitar el repaso a aquellos que lo necesiten.
D.2 Combinatoria
Una de las definiciones de probabilidad implica contar el número de veces que puede ocurrir un suceso determinado. Por tanto, en muchas ocasiones el cálculo de probabilidades empieza contando las posibilidades de que ocurra un suceso. La Combinatoria es la parte de la Matemática discreta que nos ayuda en esta tarea. Incluimos un breve resumen con ejemplos de las fórmulas más habituales y su cálculo con R.
D.2.1 Ejemplo ilustrativo
Habitualmente se utilizan ejemplos de juegos de azar para introducir el cálculo de probabilidades, como lanzamiendo de monedas y dados, o combinaciones de cartas en barajas de naipes. Para darle un enfoque práctico, utilizaremos a lo largo del módulo un ejemplo ilustrativo que, aunque totalmente inventado, se puede encontrar el lector en el futuro con ligeras variaciones según su ámbito de actuación. Utilizaremos en lo posible las cifras usadas en los problemas de azar para ver la utilidad de aquéllos ejemplos en casos más prácticos.
Datos básicos:
52 posibles usuarios de un servicio
La mitad son mujeres
4 directivos, 12 mandos, resto operarios
13 jóvenes, 26 adultos, 13 mayores (5, 18 y 3 mujeres en cada grupo respectivamente)
1 de cada seis hombres contratará el servicio (el doble si es mujer)
Nótese cómo podemos traducir el concepto de servicio a cualquier ámbito: usuarios de salud o educación, enfermos de una determinada patología, equipos de una infraestructura, etc. Asimismo las categorías pueden ser cualesquiera aplicables a los elementos de los conjuntos.
D.2.2 Principio básico de conteo
Definición: Realizamos \(k\) experimentos sucesivamente, cada uno de ellos con \(n_i\) posibles resultados (\(i=1, \ldots, k\)). Entonces el número total de resultados posibles es:
\[n_1\cdot n_2, \cdot \ldots \cdot n_k\]
Ejemplo: Resultados posibles si tomamos al azar un individuo y observamos su grupo de edad y si contratará o no el servicio.
Código
3*2
#> [1] 6D.2.3 Permutaciones
Definición: De cuántas formas posibles podemos ordenar un conjunto de \(n\) elementos sin repetirlos.
\[P_n = n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1\]
Ejemplo: De cuántas formas podemos ordenar un conjunto de tres individuos, uno de cada categoría laboral.
Código
factorial(3)
#> [1] 6D.2.4 Variaciones (muestreo sin reemplazamiento)
Definición: De cuántas formas posibles podemos seleccionar una muestra de \(n\) elementos de un conjunto total de \(m\), sin que se repitan. Una ordenación distinta, es una posibilidad distinta.
\[V_{m,n} = m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdot\ldots\cdot (m-n+1) = \frac{m!}{(m-n)!}\]
Ejemplo: De cuántas formas podemos seleccionar una muestra de 5 individuos en nuestro conjunto de 52 sin que se repitan (por ejemplo para asignar un ranking)
Código
D.2.5 Variaciones con repetición (muestreo con reemplazamiento)
Definición: De cuántas formas posibles podemos seleccionar una muestra de \(n\) elementos de un conjunto total de \(m\), pudiéndose repetir. Una ordenación distinta, es una posibilidad distinta. \[\mathit{VR}_{m,n} = m^n\]
Ejemplo: De cuántas formas podemos seleccionar una muestra de 5 individuos en nuestro conjunto de 52 pudiéndose repetir (por ejemplo para asignar premios consecutivamente)
Código
52^5
#> [1] 380204032D.2.6 Combinaciones (muestras equivalentes)
Definición: De cuántas formas posibles podemos seleccionar una muestra de \(n\) elementos de un conjunto total de \(m\), sin importar el orden.
\[\mathit{C}_{m,n} = \binom{m}{n} = \frac{m!}{n!(m-n)!}\]
\(\binom{m}{n}\) se lee m sobre n, y se le conoce como número combinatorio. Algunas propiedades importantes de los números combinatorios:
\[\binom{m}{m} = \binom{m}{0} = 1.\] \[\binom{m}{1} = \binom{m}{m-1} = m.\] \[\binom{m}{n} + \binom{m}{n+1} = \binom{m+1}{n+1}\] Por otra parte, por convenio se tiene que:
\[0!=1,\]
\[\text{si } a <b \implies \binom{a}{b} = 0.\]
Ejemplo: De cuántas formas podemos seleccionar una muestra de 5 individuos en nuestro conjunto de 52 sin importar el orden (por ejemplo para asignar premios de una sola vez)
Código
choose(52, 5)
#> [1] 2598960D.2.7 Combinaciones y permutaciones con repetición
Las combinaciones y permutaciones también se pueden dar con repetición, siendo las fórmulas para calcularlas las siguientes:
\[\mathit{CR}_{m,n}= \mathit{C}_{m+n-1,n}= \frac{(m+n-1)!}{n!\cdot(m-1)!}\] \[\mathit{PR} = \frac{n!}{a!\cdot b!\cdot \ldots\cdot z!}\]
La primera situación es aquella en la que los elementos se pueden repetir, pero no nos importa el orden en que lo hagan. La segunda aparece cuando el elemento A del conjunto total de elementos aparece \(a\) veces, y así sucesivamente.